读GTM52的一些建议

I.什么是GTM52? Graduate texts in mathematics系列，No.52是代数几何学家Hartshorne在1977年发表的一本名为Algebraic geometry的教材。此书一共分为五章：Varieties, Schemes, Cohomology, Curves, Surfaces. 主体部分用Grothendieck的Scheme语言介绍了代数几何中最基本的概念和定理，用上同调的方法给出了一些代 数曲线和代数曲面的经典结论。 II.为什么要读 GTM52经常被称为代数几何的圣经，书中的定义和用法已经成为现代代数几何的规范。书中不到500页的内容里涵盖了极丰富的内容，而且谬误极少，毫无疑问 是数学教材中的经典。代数几何和相关领域的学生，都可以考虑用此书为教材来学习。但在这里必须指出，对于有一定基础的学生，通读此书要一年左右的时间， 所以如果只是想对代数几何有简单了解，有很多更合适的书，我会在最后列出。 III.预备知识在读GTM52之前，需要掌握微分几何，代数拓扑，交换代数的基本知识(比如complex manifolds, vector bundles, (deRham)cohomology, normalization), 尤 其是交换代数，应该掌握Atiyah-Macdonald中的内容。同样对代数几何也应该有简单的了解，GTM52并不适合做学习代数几何的第一本书。推荐给初学者的书 我也会在最后列出。 IV.如何去读因为采用了Grothendieck抽象的Scheme和Category的语言，而且作者很少用文字来解释背后的几何意义，GTM52是非常难上手的一本书。在读的时候切忌从 头到尾，一页一页的读，这是一个老教授让我最受益的忠告（他说”read linearly” is only for undergraduate students）。就是说一定不要读懂了一段再去读下一 段，如果不懂就反复读，读懂了也就不用回头在看了。因为这样读，一本书可能就要读十年了，而且往往也说不清是懂了还是不懂。遇到卡住的时候，只要认真想 过了，尽可以跳过，以后再回头重看。 关于书中的具体内容，第一章是用来热身，其中有很多具体的例子，对后面的理解会很有帮助。读后面时，也应该经常参考这些例子。第二三章最难，肯定要反复 读。这里我建议可以在粗略看过第二章到Differentials, 第三章到Serre duality之后就可以开始读第四章了。因为第二三章建立抽象的理论，在四五章得到应用。 这些应用会帮助读者更具体地理解之前抽象的理论。第二章的Formal schemes在之后的应用不多，可以跳过。第三章Serre duality之后的几节很难，对后来的 内容不是很重要，读第一遍时建议跳过。 每一节后都会有很多习题，应该尽量多做一些（我第一章做了80%，第二三章35%，四五章20%）。作者在定理的证明中经常会引用前面练习题的结果。我建议应 该把这些被引用的习题都做过。做习题时也应该卡住了就跳过，之后再会来重新想。 V.其他参考书目 EGA： 毫无疑问，Grothendieck的EGA是无可替代的经典。虽然GTM52涵盖了EGA大部分的内容，但是Grothendieck超越时代的理解，我们只能从原著中学 习。比如Scheme（X）可以理解成一个从affine schemes(或者rings)到sets的functor, 就是Hom(Spec(R), X). Scheme中的点可以理解成从Hom(Spec(R), X) 中的一个元素，这里的R可以是任意的交换环。这样的解释是以后建立Deformation theory, moduli space的基础。所以这些抽象的Category语言并不仅仅简化 证明，而且让我们从更高的角度来认识问题。但是EGA更加晦涩，可以考虑读过GTM52之后再读。 Basic algebraic geometry，volumn 1,2是Shafarevich在大概同一时期写的一套教材。第一册大概是GTM52第一章的扩充版，第二册现讲Schemes,再讲 Complex manifolds。虽然不深，但是很广，而且论述更详细，是我很喜欢的两本书。和很适合想简单了解代数几何的其他专业的同学读。 Principles of algebraic geometry:是几何大师P. Griffiths和他学生J. Harris写的用复几何来研究代数几何的教材。很漂亮的一本书，而且是这方面唯一的系统 的教材。在A. Weil和O. Zariski之前的数学家就是用这种复几何的语言来研究的，所以读者可以看到早期的代数几何学家的一些想法。在GTM52中，这些想法都 被抽象的语言所掩盖。不过书中小错误很多，不适合刚上手的同学读。有兴趣的同学可以先看看R. O. Wells的Differential analysis on complex manifolds. 另外还有很多不错的代数几何教材，不过我都没怎么看过，这里只列下题目。 David Mumford: complex projective varieties; The red book of varieties and schemes Joe Harris: Algebraic geometry: a first course‎ Joe Harris, David Eisenbud: The geometry of schemes James Milne: Algebraic geometry, lecture notes available at jmilne.org（他有不少笔记，我看过的都很不错） 最后如果有对代数几何感兴趣，但没有很多预备知识（尤其是交换代数）的同学可以考虑看看Riemann surfaces的书。可以感受一下代数几何大概是在研究什么 。

All the way

Just to keep a record of where I am and how I came here.

During the first year at Purdue, I was mainly interested in differential geometry. Since this isn’t very popular at Purdue, I was even thinking about to transfer. My interest in algebra was increasing as I was taking Ulrich’s commutative algebra, and Lipman’s abstract algebra.

Before the first summer, I was looking for some professor to take a book reading course. At first, Dr. Lee told me that she would be gonne for most of the summer. Then I emailed Yeung, Lempert, Donnelly and Catlin, but none of them is available. They are about all faculties around from whom I may learn some differential geometry. So I had to choose something different, and went to Lipman. He agreed to give me a reading course immediately, and later emailed me a book called “Algebraic and analytic geometry” By Aaron Neeman, which was published half year later. The results in the book were very hard. I couldn’t understand the main theorem, but still attracted by the topic. Hence I decided to work on Algebraic geometry.

Yeung is the first person I was thinking to work with. But unfortunately, he already had two students, and didn’t want any more. Under the advice of both Lipman and Yeung, I turned to Arapura, who was on sabatical for the whole year. Still I emailed him and he accepted! During my advisor’s absent, I spent most of the year reading Hartshorne, finished reading the first time around summer 08.

After my advisor came back at fall 09, he wanted me to go over the main part Hartshorne again with him. We spent about 3 months. In November, I took the advanced topic exam with Arapura and Lipman. Two weeks before the exam, Arapura gave a talk on the fundamental groups of compact Kahler manifolds. After that, he asked me some questions, one of them was “can every morphism between finite groups be realized as the induced morphism between fundamental groups from a holomorphic map between compact Kahler manifolds?” I was very interested and was able to solve this problem two days later. So right after the advanced topic exam, I started to work on this subject, with reading Voisin’s paper.

For more than two months, I was studying Kahler manifolds, and it’s topological structures. After the winter break, I switched the topic to vanishing theorems, because there is not a good problem in the previous subject proper for a graduate student. I spend most of the spring semester reading Esnault and Viehweg’s Lectures on vanishing theorems. Right before the Michigan workshop May 09, my advisor told me the specific problem he wanted me to think about. The approach he suggested was such a surprise to me, which also seems to be a long way to go.

Since this summer, I am thinking about either to learn some phisics or some number theory. We’ll see.

西游记(Jaca to Madrid)–地铁惊魂

周五是正式会议的最后一天，一整天都沉浸在上午的两个报告里，还有之前一天和导师的讨论。不知不觉很多老师同学们都消失了，临走连个招呼也没打，有些遗憾。周六白天，当地的老师组织剩下的二三十人到郊区的树林里走了一天。虽然没什么特别动人的景色，但是一路的鸟语花香，让我的心思从前几天会议浓郁的数学氛围中解脱出来，开始享受旅游的乐趣。

周六晚上，和另一位同学结伴从Jaca来到马德里，没想到在刚刚到达的第一时刻，就被马德里人用最独特的方式欢迎了一下。话说当晚，我和那个哥们轮流提着他托运摔坏的大箱子，一路客车倒火车，到达马德里，已经筋疲力尽。在地铁里，想象着马上就能到市中心找个旅馆住下，再痛痛快快地冲个凉，我彻底把之前别人反复的警告放在脑后，刚好这时几个西班牙小伙子也登上我们这节车厢，故事就这么开始了。

说一下当时具体的情况，车上人挺多，我提着个箱子，背着个大包，移动起来非常吃力。刚好同行的哥们找到个座位坐了过去，我因为移动不便，就没跟过去。不知不觉间被刚上车那几个无耻窃贼（称他们西班牙小伙太客气了）围住了，他们具体几个人我记不清了，三个或四个。其中一个开始给我做手势让我下车，我就觉得特别奇怪，问他干什么。他用西班牙语回应了一句，然后继续同样的手势。他的唯一目的就是吸引我的注意力，我完全中了他的圈套。我以为他想说门口没那么挤，让我往那边移移。就在我刚刚移动一点的时候，他的同伴下手了，我好像是感觉到了一点，但当时真的是被狡猾的敌人吸引了注意力，没有及时反应过来。不过偷钱包的窃贼得手之后，和吸引我的人有个眼神交流，我看见面前这跟人看身后的人一眼，还略微点了下头。这时我突然意识到不对，马上去摸钱包，已经不见了。

我的大头马上又大了一圈，信用卡，驾照，学生证，银行卡，现金全在钱包里。如果丢了，我就可以回机场讨饭两天再回美国了。我转过身来，偷钱包的人往后推了一步，做出一副无辜的表情。他身边的第三个人同时做出了一个用手往裤兜里放钱包的动作，我马上判断是窃贼把我的钱包给这第三个人了，于是马上用手去抓他的裤兜。这第三个人也马上做出无辜的样子，并从裤兜里掏出他自己的钱包。我这一下更傻了，完全不知钱包的去向，就疯狂地朝掏走我钱包的人喊：“Give me my pocket! Give me my pocket！” 当时太激动了，已经分不清pocket和wallet了，只知道狂喊。除了在那里大声叫喊，我想一定不能让这几个人下车，否则我托着这么多行李，就没一点办法了。但是他们人多，又身强力壮，我已经深深地陷入绝望。

就在这关键时刻，天降救星。旁边一伙年轻男女中，一个小伙子并没有被我的喊声吓开，他指着从我兜里掏走钱包的人说:"It’s him." 哈，这几个小偷看见有本地人站出来替我说话，马上做贼心虚，在地铁刚到战时把钱包扔在地上，跑掉了。我拾起钱包，语无伦次地反复说着:"Thank you! Gracias! Thank you! Gracias!" 而我那大救星，只说了一句非常深刻的话:"Welcome to Madrid!" 和他同行的另一人好像不说英语，用手势告诉我不要把钱包放在裤兜里。

最后顺利地到了市里，住到旅店。这件事情现在说起来还是心有余悸。

西游记(day -1,0,1,2,3,4)

终于搞到了一个电源的转接口，可以自由的上网了，简单写几句这几天在西班牙的生活。

上周六，连西班牙和美国有几小时时差都没搞清楚，我就勇敢地踏上了飞往马德里的飞机。旅途的疲惫遮掩不住咱踏上异国他乡的兴奋。在马德里换三趟地铁，又转乘一个多小时火车后，到达了从西甲联赛认识的萨拉戈萨市。这时才发现西班牙人民的英语普及程度，可能和朝鲜有得一拼了：）在火车站专了一圈又一圈，用我东北口音的英文对他们当地标准流利的西班牙语一遍又一遍地过招之后，终于找到从萨拉戈萨到小镇Jaca的长途车站了。

惊奇地在长途车站遇到导师及其夫人。很快主题就进入了预计的内容。周日晚到达会方安排的学生宿舍简单安顿一下，从周一开始西班牙人标准的作息时间：早上8点早饭，9点到下午1点半之间安排四个报告，之后两个小时午饭+午睡，三点半到七点半，又是两个报告+一些小的交流活动，8点到9点晚饭。因为时差还比较混乱，一天下来筋疲力尽。另外伙食很差，还过度饮酒，现在体重大概在以 1斤/天 的速度下降。说起喝酒，在这堕落的西班牙人民可能每天喝的酒比水还要多，吃饭时和红酒，吃完饭和啤酒，吃正餐时我们还要喝香槟。连我这种天天向上的同学都被带坏了：（

虽然每天报告的题目都非常难，大部分和我的方向也都不大相关，这次让我错过吴侠林琳同学婚礼的会议还是给我挺大收获的。第一个亮点出现在周三导师作报告的时候，他居然引用了我去年年末做出的一个结论，还在会上夸奖了我的证明。之后他又给我提了一个很有挑战的问题，结果今天上午就被我搞定了，大大的惊喜。争取再多做点内容，也发上一篇论文！！！不过我还是想在另外一个不同的方向做毕业论文，所以路应该还很长。

流水账就先到这，照片以后补上。

Best talent show

http://www.youtube.com/watch?v=luRmM1J1sfg

这个都能杀

If this reminds something……

Something I want to know

Here I am writing a list of topics I am learning or, most of them, I wish I will have a chance to learn some day.

I should be able to learn (more or less) most of the stuffs(eventually):

1. Vanishing theorem (main job)
2. Positivity in algebraic geometry, Book by Lasarsfeld (working on it)
3. Hodge theory, Deligne’s work (working on it)
4. Minimal model program(the several fundamental theorems of MMP)
5. More transdental method in algebraic geometry
6. Intersection theory
7. Theory of algebraic curves
8. Stacks and moduli spaces
9. Proof of Serre’s GAGA
10. Algebraic K-theory

These are also interesting:

1. Resolution of singularity
2. Grothendieck’s standard conjectures
3. Weil’s conjecture
4. Index theory
5. Chern’s work on sphere bundle
6. Theory of differential operators

习惯

习惯了闷在办公室里学习一天，结果临睡时突然发现最开始的假设就是错的；

习惯了自己以为理解得很好，但给别人讲时才发现漏洞百出；

习惯了在公车上一边听音乐，一边胡思乱想，坐过站之后在冰天雪地里多走十几分钟回家；

甚至站在汽车站都能错过公车，之后也不觉得惊奇。

 

有老师在一篇科普文章里说，他会在周中里非常刻苦地工作，但是会把周末留给自己，留给自己的生活。

但是自己所爱的，让自己快乐的，不就是生活么？

 

—"If you don’t have homework, project to finish, what do you study?"

—"Hmmm…… I just want to see what happened here."

current problems

Here are some problems I started to think about recently.

1. Kahler groups: If a group is isomorphic to a fundamental group of a compact Kahler(complex projective) manifold, the we call it “Kahler”(“projective”). In general, we can ask what are the necessary and sufficient conditions to be Kahler or projective. We know projective implies Kahler, since complex projective manifold is always compact Kahler. And we ask, “whether every Kahler group is projective?”
2. Kodaira’s problem: Kodaira proved every compact Kahler surface is equivalent to a projective surface via deformation. And Voisin constructed examples of dim>=4 compact Kahler manifolds, whose cohomology ring will never isomorphic to the one of any projective manifold, hence it is not equivalent to any projective manifold via deformation. But in dimesion 3, the problem is still open.
3. Combining the above two question together, we can also ask the necessary or sufficient conditions of a graded-commutative ring to be Kahler or projective, in the sense of 1.
4. Kahler morphisms: In the sense of 1, what morphisms between groups can be Kahler or projective?

The first three are more difficult and the last one seems more practical. Instead of settle down on one specific problem, I am wandering around and lead by my interest.